已知点 $A^{\prime}$ 在正方形 $A B C D$ 内，点 $E$ 在边 $A D$ 上，$B E$ 是线段 $A A^{\prime}$ 的垂直平分线
（1）如图 1，若 $BA ^{\prime}$ 的延长线经过点 $D , AE =1$ ，求 AB 的长；



（2）如图 2 ，点 $F$ 是 $A A^{\prime}$ 的延长线与 $C D$ 的交点，连接 $C A^{\prime}$ ．
① 求证：$\angle C A^{\prime} F=45^{\circ}$ ；
② 如图 3，设 $A F, B E$ 相交于点 $G$ ，连接 $C G, D G, D^{\prime}$ ．若 $C G=C B$ ，判断 $\triangle A^{\prime} D G$ 的形状，并说明理由．