二维随机变量设 $(X, Y)$ 的概率密度为

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}
2, & 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1-x, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array} \text { 令 } Z=\left\{\begin{array}{cc}
0, & X+Y \leqslant \frac{1}{2}, \\
X+Y, & X+Y>\frac{1}{2} .
\end{array}\right.\right.
$$

（1）求 $(X, Y)$ 的分布函数 $F(x, y)$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 处的值；
（2）求 $Z$ 的分布函数 $F_Z(z)$ ，由此求 $P\{Z=0\}$ ，并问 $Z$ 是否是连续型随机变量？
（3）记 $U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$ ，求 $E(U+V)$ ．