某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究．
（1）如图1，梯形 $A B C D$ 中，$A D \| B C, A B \perp B C$ ，点 $E$ 是 $A B$ 中点，$D$ 是梯形的顶点，将 $\triangle A D E$ 绕 $E$ 旋转 $180^{\circ}$ 得到 $\triangle B F E$ ，若 $A D=a$ ，且此时 $D F=D C$ ，求 $B C$ 的长（用含 $a$ 的代数式尝试表示）；
（2）如图2，梯形 $M N P Q, M N \| P Q, M Q=N P$ ，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：（1）所得的部分不重叠，不间隙地拼；（2）在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；（3）在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点．（模仿 1 中的表述：点 $E$ 是 $A B$ 中点，$D$ 是梯形的顶点）