在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y=x^2+b x+c$ 经过点 $A(1,1)$ 和 $B(3,1)$ ，顶点为点 $P$ ，抛物线于 $y$ 轴交于点 $C$ 。
（1）求 $b$ 和 $c$ 的值．
（2）另一条抛物线 $y=a x^2+m x+n(a \neq 1)$ 也经过点 $A(1,1)$ 和 $B(3,1)$ ，顶点为点 $Q$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ．
① 求 $\frac{C D}{P Q}$ 的值；
② 当四边形 $C D P Q$ 是直角梯形，求其最小内角的正弦值．