在平面直角坐标系 $x O y$ 中，拋物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 经过点 $O$ 和点 $A(3,3 a)$ ．
（1）求 $c$ 的值，并用含 $a$ 的式子表示 $b$ ；
（2）过点 $P(t, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $M$ ，交直线 $y=a x$ 于点 $N$ ．
① 若 $a=1, t=4$ ，求 $M N$ 的长；
② 已知在点 $P$ 从点 $O$ 运动到点 $B(2 a, 0)$ 的过程中，$M N$ 的长随 $O P$ 的长的增大而增大，求 $a$的取值范围．