设 V 是数域 K 上 $n$ 维线性空间，$\varphi, \sigma$ 是 V 上线性变换，且 $\varphi^2=0, \sigma^2=0$ ， $\varphi \sigma+\sigma \varphi=i d_{\mathrm{V}}$ ，其中 $i d_{\mathrm{V}}$ 是 V 上恒等变换。求证：
（1） $\mathrm{V}=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \sigma$ ；
（2）V必是偶数维线性空间。