（华中科技大学，2017 年；清华大学，2008 年）设 $A, B$ 都是 $n$ 阶方阵，满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{O}$ ，且 $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}^2=\operatorname{rank} \boldsymbol{A}$ ，证明：

$$
\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=\operatorname{rank} \boldsymbol{A}+\operatorname{rank} \boldsymbol{B}
$$