（中山大学，2006 年）设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是实数域上三维向量空间 $V$ 的一个基， $\boldsymbol{\beta}_1=2 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_2=-\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_3=2 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ ．证明： $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 也是 $V$ 的一个基，并求 $V$ 中在这两个基下坐标相同的所有向量．