设 $S$ 为全体满足条件 $x_n=x_{n-1}+x_{n-2}(n \geqslant 3)$ 的实数列

$$
\left(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots\right)
$$


所构成的集合，已知 $S$ 按照如下定义的加法与数量乘法

$$
\begin{gathered}
\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right)+\left(y_1, y_2, \cdots, y_n, \cdots\right)=\left(x_1+y_1, x_2+y_2, \cdots, x_n+y_n, \cdots\right) \\
k\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right)=\left(k x_1, k x_2, \cdots, k x_n, \cdots\right)
\end{gathered}
$$


构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间．
（1）求 $S$ 的一个基与维数 $\operatorname{dim} S$ ；
（2）给出 $S$ 的一个由等比数列所组成的基；
（3）求斐波那契（Fibonacci）数列 $(0,1,1,2,3,5,8, \cdots)$ 的通项公式．