（北京航空航天大学，2005 年）设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 是 $K^n$ 中的两个线性无关向量组，证明：子空间

$$
L\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r\right) \cap L\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s\right)
$$


的维数等于齐次线性方程组

$$
x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_r \boldsymbol{\alpha}_r+y_1 \boldsymbol{\beta}_1+y_2 \boldsymbol{\beta}_2+\cdots+y_s \boldsymbol{\beta}_s=\mathbf{0}
$$


的解空间的维数．