（武汉大学，2006 年）设数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 关于乘法两两可交换，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{D}=\boldsymbol{E}$（其中 $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵），又设齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间分别为 $W, V_1$ 和 $V_2$ ．证明：$W=V_1 \oplus V_2$ ．