设 $C$ 为复数域，令

$$
V=\left\{\left.\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}
\alpha & \beta \\
-\beta & \alpha
\end{array}\right) \right\rvert\, \alpha, \beta \in \mathbb{C}\right\} .
$$

（1）证明：$V$ 关于矩阵的加法、数与矩阵的乘法构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间；
（2）求 $V$ 的一个基和维数 $\operatorname{dim} V$ ；
（3）记 $\operatorname{dim} V=n$ ，给出 $V \rightarrow \mathbb{R}^n$ 的一个同构映射，请阐述理由．