设 $\lambda_0$ 是 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，$d_1(\lambda), d_2(\lambda), \cdots, d_n(\lambda)$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的所有不变因子，证明：$\lambda_0 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ 的充分必要条件是

$$
\left(\lambda-\lambda_0\right) \mid d_{r+1}(\lambda), \quad\left(\lambda-\lambda_0\right) \nmid d_r(\lambda) .
$$