（武汉大学，2013 年）设 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值，但 $-\lambda_i(i=1,2, \cdots, n)$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值．定义 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 的线性变换

$$
\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}, \quad \forall \boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times n}
$$


证明：（1）$\sigma$ 是可逆线性变换；
（2）对任意实对称矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，必存在唯一的实对称矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，使得 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}$ ．