（武汉大学，2005年）设 $\boldsymbol{A} \in M_n(K), \lambda_0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 重特征值，且 $\operatorname{rank}\left(\lambda_0 \boldsymbol{E}-\right. \boldsymbol{A})=n-1$ ．
（1）求使 $\left(\lambda_0 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right)^m=\boldsymbol{O}$ 的最小正整数 $m$ ；
（2）证明：$\left(\lambda_0 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right)^{n-1}$ 中必存在一个列向量是 $\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_0$ 的特征向量．