设 $K$ 为数域， $\mathcal{A}: V \rightarrow V$ 是 $n$ 维 $K$－向量空间 $V$ 上的线性算子（线性变换），$\mu_{\mathcal{A}}(x), \chi_{\mathcal{A}}(x) \in K[x]$ 分别是 $\mathcal{A}$ 的极小多项式和特征多项式．证明：
（1）存在 $\alpha \in V$ 使 $\mu_{\mathcal{A}}(x)=\mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ ，其中 $\mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ 是集合

$$
\{f(x) \in K[x] \mid f(\mathcal{A})(\alpha)=0\}
$$


中首项系数为 1 ，次数最小的多项式；
（2）$K[\mathcal{A}] \cdot \alpha:=\{f(\mathcal{A})(\alpha) \mid \forall f(x) \in K[x]\}$ 是 $\operatorname{deg} \mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ 维 $\mathcal{A}$－不变子空间；
（3）设 $\mathcal{B}: V \rightarrow V$ 是任意线性算子．若 $\mu_{\mathcal{A}}(x)=\chi_{\mathcal{A}}(x)$ ，则

$$
\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}=\mathcal{B} \cdot \mathcal{A} \Longleftrightarrow \text { 存在 } f(x) \in K[x] \text { 使 } \mathcal{B}=f(\mathcal{A}) \text {. }
$$