设 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是实数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的对称双线性函数，$f$ 关于 $V$ 的一个基的度量矩阵为 $\boldsymbol{A}$ ．已知 $n$ 元实二次型 $g(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的负惯性指数等于 0 ．证明：

$$
W=\{\boldsymbol{\alpha} \in V \mid f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha})=0\}
$$
是 $V$ 的一个子空间，并求 $W$ 的维数 $\operatorname{dim} W$ ．