（北京大学，1999 年）设实数域上的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为

$$
A=\left(\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\
0 & 6 & -2 \\
1 & -2 & 2
\end{array}\right) .
$$

（1）判断 $\boldsymbol{A}$ 是否为正定矩阵，要求写出理由；
（2）设 $V$ 是实数域上的 3 维线性空间，$V$ 上的一个双线性函数 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 在 $V$ 的一个基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 下的度量矩阵为 $\boldsymbol{A}$ ．证明 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是 $V$ 的一个内积，并且求出 $V$ 对于这个内积所成的欧氏空间的一个标准正交基．