（北京大学，2005 年）设实数域 $\mathbb{R}$ 上 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{H}$ 的 $(i, j)$ 元为 $\frac{1}{i+j-1}(n>1)$ ．在实数域上 $n$ 维线性空间 $\mathbb{R}^n$ 中，对于 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^n$ ，令 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{\beta}$ ．试问：$f$ 是不是 $\mathbb{R}^n$ 上的一个内积？写出理由．