（北京师范大学，1996 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是实反对称矩阵．证明：
（1） $\boldsymbol{A}$ 的非零特征值为纯虚数；
（2）若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}^{-1}$ 可逆，且 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}^{-1}\right)\left(\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}$ 是正交矩阵．