（四川大学，2011 年）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$V$ 的内积为 $(\cdot, \cdot)$ ．
（1）设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是 $V$ 中的一个线性无关组．证明：$V$ 中存在两两正交的 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2 \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$使对任意 $1 \leqslant k \leqslant s$ ，都有 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_k$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_k$ 等价；
（2）设 $\boldsymbol{\gamma}_i \in V(1 \leqslant i \leqslant t)$ ．
证明： $\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_t$ 线性无关的充分必要条件是

$$
\left(\begin{array}{ccc}
\left(\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_1\right) & \cdots & \left(\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_t\right) \\
\vdots & & \vdots \\
\left(\boldsymbol{\gamma}_t, \boldsymbol{\gamma}_1\right) & \cdots & \left(\boldsymbol{\gamma}_t, \boldsymbol{\gamma}_t\right)
\end{array}\right)
$$

为正定矩阵．（中国科学技术大学，2011年）