设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实方阵，证明：存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值全为实数且 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$（其中 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 表示 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵）．