设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0) ; \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 证明：
（1）若 $g(0,0)=0, g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微且 $\mathrm{d} g(0,0)=0$ ．则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
（2）若 $g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处有偏导数且 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ ．