设函数列 $f_n(x)=n x e^{-n^2 x^2}, x \in[0,1], n=1,2, \cdots$ ．证明：
（1）$\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,1]$ 上收敛于 $f(x) \equiv 0$ ．
（2）$\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,1]$ 上是否一致收敛于 $f(x) \equiv 0$ ？判断并给出理由．
（3）$\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,1]$ 上积分平均收敛于 $f(x) \equiv 0$ ，即 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1\left|f_n(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0$ ．