设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的导数 $f^{\prime}(x)$ 单调增加，$f(0)=0$ ，且 $x>0$ 时，$f(x)>0$ ．
（1）证明函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增加；
（2）如果 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=1$ ．证明函数 $F(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{f(x)}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增加．