设 $\mathscr{R}$ 为 $X$ 的某些子集所成的环，$\mu$ 为 $\mathscr{R}$ 上的测度．任取 $E \subset X$ ，令

$$
\mathscr{R}_E=\{F \mid F \in \mathscr{R}, F \subset E\},
$$

$\mu_E$ 为 $\mu$ 在环 $\mathscr{R}_E$ 上的限制．（ $\mathscr{R}_E^*, \mu_E^*$ ）为（ $\mathscr{R}_E, \mu_E$ ）按 Caratheodory 条件的延拓．举例说明：

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\mathscr{R}_E^* \neq \mathscr{R}^* \cap E .
$$