设 $\mathscr{R}$ 为 $X$ 的某些子集所成的环，$\mu$ 为 $\mathscr{R}$ 上的测度．则 $\mathscr{H}(\mathscr{R})$ 上的集函数

$$
\mu_*(E)=\sup \{\mu(F) \mid E \supset F \in \mathscr{R}\}
$$

（称 $\mu$ ．为内测度）具有下列各性质：
（1）非负性：$\mu_*(E) \geqslant 0$ ．特别地，$\mu_*(\varnothing)=0$ ；
（2）单调性：若 $E_1, E_2 \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \subset E_2$ ，则 $\mu *\left(E_1\right) \leqslant \mu *\left(E_2\right)$ ；
（3）若 $E \in \mathscr{R}$ ，则 $\mu .(E)=\mu(E)$ ；
（4）若 $E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_i \cap E_j=\varnothing, i \neq j$ ，则

$$
\mu \cdot\left(\bigcup_{n=1}^m E_n\right) \geqslant \sum_{n=1}^m \mu_*\left(E_n\right) .
$$


进而，有

$$
\mu .\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \geqslant \sum_{n=1}^{\infty} \mu .\left(E_n\right) ;
$$

（5）对 $E \in \mathscr{R}, F \in \mathscr{H}(\mathscr{R})$ ，有

$$
\begin{aligned}
\mu *(F) & =\mu *(F \cap E)+\mu *(F-E) \\
& =\mu *(F \cap E)+\mu *\left(F \cap E^c\right) ;
\end{aligned}
$$

（6）若 $E \in \mathscr{H}(\mathscr{R})$ ，则

$$
\mu_*(E) \leqslant \mu^*(E)
$$