设 $f$ 为定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的实函数，对 $\forall \varepsilon>0, \exists g, h \in \mathscr{L}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 满足

$$
g(\boldsymbol{x}) \leqslant f(x) \leqslant h(\boldsymbol{x}), \forall \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n,
$$


且有

$$
\text { (L) } \int_{\mathrm{R}^n}[h(\boldsymbol{x})-g(\boldsymbol{x})] \mathrm{d} \boldsymbol{x} < \varepsilon .
$$


证明：$f \in \mathscr{L}\left(\mathbb{R}^n\right)$ ．