证明：（1）对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ ，有

$$
|\cos x|=\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4 n^2-1} \cos 2 n x
$$


由此结果得到：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 中 Riemann 可积，则

$$
\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x)|\cos \lambda x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$

（2）对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ ，有

$$
|\sin x|=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2 n x}{(2 n)^2-1}
$$


由此结果得到：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 中 Riemann 可积，则

$$
\lim _{\lambda \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)|\sin \lambda x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$