设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，秩（ $\boldsymbol{A}$ ）$=r$ ，证明： $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$ 的充分必要条件是存在 $r \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和 $n \times r$ 矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C B}$ ，且 $\boldsymbol{B C}=\boldsymbol{I}_r$ ，其中秩 $(\boldsymbol{B})=$ 秩 $(\boldsymbol{C})=r$ ， $\boldsymbol{I}_r$ 为 $r$ 阶单位阵。