设函数 $y(x)(x \geqslant 0)$ 二阶可导．且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$ ，其反函数为 $z(x)$ ．过曲线 $y= y(x)$ 上任意一点 $Q(x, y(x))$ 作该曲线的法线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ 。区间 $[1, y(x)]$ 上以 $y=z(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ．若 $S_1=y^2(x)\left(S_2+1\right)$ 恒成立，求曲线 $y=y(x)$ 的方程．