设定义在右半平面 $(x>0)$ 的正值函数 $z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，并且满足

$$
z \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}, z(x, 0)=x \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, z(1, y)=\mathrm{e}^{-\frac{1+y^2}{2}} .
$$

（1）求 $z(x, y)$ 的表达式；
（2）求 $z(x, y)$ 的极值．