如图，在山脚 $A$ 处测得山顶 $P$ 的仰角 $\alpha$ 为 $45^{\circ}$ ，沿倾斜角 $\beta$ 为 $15^{\circ}$ 的斜坡向上走 100 米到达 $B$ 处，在 $B$ 处测得山顶 $P$ 的仰角 $\gamma$ 为 $60^{\circ}$ ，则山的高度 $P Q$ 为（）附： $\sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ．
A
$50(\sqrt{6}+\sqrt{2})$ 米
B
$50(\sqrt{3}+1)$ 米
C
$100(\sqrt{3}+1)$ 米
D
120 米
E
F