如图，在直三棱柱 $A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 中，点 $A$ 到平面 $A^{\prime} B C$ 的距离为 $\sqrt{2}, \triangle A^{\prime} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ．
（1）求直三棱柱 $A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的体积．
（2）若直线 $A^{\prime} B$ 与平面 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 所成的角为 $45^{\circ}, D, E$ 分别为 $A^{\prime} C, A^{\prime} B$ 的中点，且 $A E \perp D E$ ．
（i）求直三棱柱 $A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的 外接球的表面积；
（ii）求二面角 $A-B D-A^{\prime}$ 的大小．