观察下列等式：

$$
a_1=\frac{1}{1 \times 2 \times 3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{1 \times 3} ; \quad a_2=\frac{1}{2 \times 3 \times 4}+\frac{1}{3}=\frac{3}{2 \times 4} ; \quad a_3=\frac{1}{3 \times 4 \times 5}+\frac{1}{4}=\frac{4}{3 \times 5} \ldots
$$

（1）猜想并写出第 6 个等式 $a_6=$ $\_\_\_\_$ ；
（2）猜想并写出第 $n$ 个等式 $a_n=$ $\_\_\_\_$ ；
（3）证明（2）中你猜想的正确性．