已知 $z=x f\left(\frac{y}{x}\right)+2 y \varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ ，其中 $f, \varphi$ 均为二阶可导函数．
（1）求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ；
（2）若 $f=\varphi,\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{x=1}=-2 y^2$ ，且曲线 $y=f(x)$ 与 $2 y=-1+x y^3$ 在点 $(1,-1)$ 处相切，求 $f(x)$ 的表达式。