设 $X_1, X_2, \cdots, X_9$ 是来自正态总体 $X$ 的简单随机样本，$Y_1=\frac{1}{6}\left(X_1+X_2+\cdots+\right. \left.X_6\right), Y_2=\frac{1}{3}\left(X_7+X_8+X_9\right), S^2=\frac{1}{2} \sum_{i=7}^9\left(X_i-Y_2\right)^2, Z=\frac{\sqrt{2}\left(Y_1-Y_2\right)}{S}$ ，证明统计量 $Z$ 服从自由度为 2 的 $t$ 分布．