已知抛物线 $\Gamma: y^2=4 x, A$ 为第一象限内曲线 $\Gamma$ 上的点, 设 $A$ 的纵坐标是 $a$.
(1) 若点 $A$ 到抛物线 $\Gamma$ 的准线距离为 3 , 求 $a$ 的值;
(2) 若 $a=4$, 点 $B$ 在 $x$ 轴上, 且 $A B$ 的中点在抛物线 $\Gamma$ 上, 求点 $B$ 的坐标和坐标原点 $O$ 到直线 $A B$ 的 距离;
(3) 已知直线 $l: x=-3, P$ 是第一象限内曲线 $\Gamma$ 上吕于点 $A$ 的点, 直线 $P A$ 交 $l$ 于点 $Q$, 且 $P$ 在直线 $l$ 上的投影为点 $H$. 若对于任意点 $P,|H Q|>4$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围.