已知函数 $f(x)=\ln x$. 过点 $\left(a_1, f\left(a_1\right)\right)$ 作曲线 $y=f(x)$ 的切线交 $y$ 轴于点 $\left(0, a_2\right)$, 再过点 $\left(a_2, f\left(a_2\right)\right)$ 作曲线 $y=f(x)$ 的切线交 $y$ 轴于 $\left(0, a_3\right)$, 若 $a_3 < 0$ 则停止. 以此类推, 得到数列 $\left\{a_n\right\}$.
(1) 若正整数 $m \geq 2$, 证明: $a_m=\ln a_{m-1}-1$;
(2) 若正整数 $m \geq 2$, 试比较 $a_m$ 与 $a_{m-1}-2$ 大小;
(3) 若正整数 $k \geq 3$, 是否存在 $k$ 使得 $a_1, a_2, \cdots, a_k$ 依次成等差数列? 若存在, 求出 $k$ 的所有取值; 若不 存在, 请说明理由.