如图，在菱形 $A B C D$ 中，$A B=2, \angle D A B=60^{\circ}$ ，点 $E$ 是 $A D$ 边的中点．点 $M$ 是 $A B$ 边上一动点 （不与点 $A$ 重合），连接 $M E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点 $N$ ，连接 $M D 、 A N$ ．
（1）求证：四边形 $A M D N$ 是平行四边形；
（2）当 $A M=1$ 时，求证：四边形 $A M D N$ 是矩形；
（3）填空：当 $A M$ 的值为 $\qquad$时，四边形 $A M D N$ 是菱形．
（1）求证：四边形 $A M D N$ 是平行四边形；
（2）当 $A M=1$ 时，求证：四边形 $A M D N$ 是矩形；
（3）填空：当 $A M$ 的值为 $\qquad$时，四边形 $A M D N$ 是菱形．