单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设集合 $A=\{0,1\}, B=\left\{x \mid x^2-5 x+t=0\right\}$ ，若 $A \cap B=\{1\}$ ，则 $A \cup B=$
$\text{A.}$ $\{0,-4,1\}$
$\text{B.}$ $\{0,1\}$
$\text{C.}$ $\{0,1,2\}$
$\text{D.}$ $\{0,1,4\}$
$ z=\frac{4- i }{1- i }-2 i$ 的虚部为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2} i$
已知函数 $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$ ，则 $f(m)+f\left(\frac{1}{m}\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{m}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{m^2+1}{m}$
$\text{D.}$ $\frac{m+1}{m^2}$
已知非零向量 $a , b$ 满足 $|2 a - b |=| a + b |$ ，且 $\cos < a , b >=\frac{1}{3}$ ，则 $\frac{| a |}{| b |}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{4}{3}$
记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若数列 $\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 1 的等差数列，则 $\frac{a_{2025}}{a_3}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 2025
$\text{D.}$ 2022
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设 $X$ 为其分布列与末知参数 $m$ 有关的离散型随机变量，其中 $m$ 的取值范围为 $S$ ．若对已知结果 $X=k$ ，有 $m_0 \in S$ ，且 $\forall m_1 \in S$ ，有 $P\left(X=k \mid m=m_0\right) \geqslant P\left(X=k \mid m=m_1\right)$ 成立，则称 $m_0$为 $m$ 在 $X=k$ 下的一个极大似然估计．
（1）（i）若 $X$ 服从二项分布 $B(2, m)$ ，求 $m$ 在 $X=1$ 下的极大似然估计；
（ii）若 $X$ 服从二项分布 $B\left(m, \frac{1}{2}\right)$ ，求 $m$ 在 $X=3$ 下的极大似然估计．
（2）若某台抽奖机上有一个按钮，参与者需要连续快速点击按钮来累积积分换取奖品．已知每次点击按钮后，获得 1 积分的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，不获得积分的概率为 $1-p$ ．小丽参加这个抽奖活动后总共获得了 $k$ 积分，用极大似然估计的方法估计她点击按钮的总次数 $m$ 的取值为 $m_0$ ，证明：$m_0 \leqslant \frac{k}{p}$ ，并指出等号成立的条件．