单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知实数 $a, b$ 满足 $a \cdot b=1$ ，那么 $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
已知 $x_1 、 x_2$ 是一元二次方程 $x^2-x-2=0$ 的两个根，则 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ 的值是（）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$
如果 $\frac{a}{b}=2$ ，则 $\frac{a^2-a b+b^2}{a^2+b^2}=()$
$\text{A.}$ $\frac{4}{5}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{D.}$ 2
若 $\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$ ，则 $\frac{a-b}{b}$ 的值是
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{4}{3}$
若 $\frac{2}{2 y^2+3 y+7}$ 的值为 $\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{1}{4 y^2+6 y-1}$ 的值为（）．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ $-\frac{1}{7}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $(\sqrt{2}-x)^3=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3$ ，则 $\left(a_0+a_2\right)^2-\left(a_1+a_3\right)^2$ 的值为
已知 $a^2-a=1, b^2-1=b$ ，求 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ 的值．
已知 $m^2-4 m+3=0,2 n^2-3 n+1=0, m n \neq 1$ ，求值 $m^2+\frac{1}{n^2}$ ．
已知 $x_1, x_2$ 是方程 $x^2-3 x+1=0$ 的两根，求 $2 x_1^2+5 x_1+x_2^2+8 x_2+4$ 的值．
已知 $\alpha 、 \beta$ 是方程 $x^2-x-1=0$ 的两个实根，求 $2 \alpha^5+5 \beta^3$ 的值．
先化简，再求值：$\frac{2 m+n}{m^2-2 m n+n^2} \cdot(\mathrm{~m}-\mathrm{n})$ ，其中 $\frac{m}{n}=2$
已知 $\frac{x}{y}=3$ ，求 $\frac{x^2+2 x y-3 y^2}{x^2-x y+y^2}$ 的值．
已知 $x-\frac{1}{x}=4$ ，则 $\frac{x^2}{x^4-5 x^2+1}=$
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
有这样一道题：计算 $\frac{1}{3} x^2-\left(3 x^2+3 x y-\frac{3}{5} y^2\right)+\left(\frac{8}{3} x^2+3 x y+\frac{2}{5} y^2\right)$ 的值，其中 $x=-\frac{1}{2}$ ， $y=2$ 。甲同学把＂$x=-\frac{1}{2}$＂错抄成了＂$x=\frac{1}{2}$＂，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？
已知 $A=2 x^2+x y+3 y-1, B=x^2-x y$ ．
（1）若 $A-2 B$ 的值与 $y$ 的值无关，求 $x$ 的值．
（2）若 $A-m B-3 x$ 的值与 $x$ 的值无关，求 $y$ 的值．
已知多项式 $-3 x^2+m x+n x^2-x+3$ 值与 $x$ 的取值无关，求 $m n-\left[m^3-3\left(m n-m^2\right)+2 m n\right]$ 的值．
已知 $a^2+b^2+2 a-4 b+5=0$ ，求 $2 a^2+4 b-3$ 的值．
已知 $x^2-2 x+y^2+8 y+17=0$ ，求 $(x+y)^2$ 的值．
已知 $x+y=7$ 且 $x y=12$ ，则当 $x < y$ 时，$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ 的值等于
已知 $x+\frac{1}{x}=3$ ，则 $x-\frac{1}{x}$ 的值是
若 $a+b+c=12, a^2+b^2+c^2=60$ ，求 $a b+a c+b c$ 的值
已知 $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ ，求 $\frac{x y+y z+z x}{x^2+y^2+z^2}$ 的值．
若 $\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}$ ，求 $x+y+z$ 的值．
已知 $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{7} \neq 0$ ，求 $\frac{3 x+y+z}{y}$ 的值．
阅读材料：设一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$ 的两根为 $x_1, x_2$ ，则两根与方程系数之间有如下关系 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}$ 根据该材料填空：已知 $x_1, x_2$ 是方程 $x^2+6 x+3=0$的两实数根，则 $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$ 的值为
若 $a+2 b=9 c, a-2 b=5 c$ ，则 $\frac{2 a^2+3 b^2+7 c^2}{a^2-4 b^2+9 c^2}=$
已知 $\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$ ，求 $\frac{x^2}{x^4+1}$ 的值
已知 $\frac{x}{x^2-3 x+1}=\frac{1}{5}$ ，求 $\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$ 的值