解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $y=\frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y^{\prime}=\frac{y}{x}+\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解，试求 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的表达式．
若 $y=\left(1+x^2\right)^2-\sqrt{1+x^2}, y=\left(1+x^2\right)^2+\sqrt{1+x^2}$ 是微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个解，试求 $q(x)$ 的表达式．
判断函数 $y=C_1 e^{2 x}+C_2 e^{-2 x}$ 是否为微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y=0$的通解．
求以 $a, b, c$ 为自由参数的曲线族 $y=\frac{a x+b}{x+c}$ 为通解的微分方程．
若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)=\int_0^{2 x} f\left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t+\ln 2$ ，试求 $f(x)$ 的表达式．
设函数 $f(x)$ 满足 $f(x+\Delta x)-f(x)=2 x f(x) \Delta x+o(\Delta x)$ ，且 $f(0)=2$ ，试求 $f(1)$ 的值．
求方程 $\left(3 x^2+2 x y-y^2\right) \mathrm{d} x+\left(x^2-2 x y\right) \mathrm{d} y=0$ ．
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(y-x)^2+2$ ．
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{2 x^3+3 x y^2-7 x}{3 x^2 y+2 y^3-8 y}$ ．
$(2 x+y-4) \mathrm{d} x+(x+y-1) \mathrm{d} y=0$ ．