解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为 $X$ 的简单随机样本，求 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的矩估计量．
设总体 $X$ 的分布律为
其中 $\theta$ 为末知参数．试利用总体的如下样本值 $2,3,2,1,3,1,2,3,3$ ，求 $\theta$ 的矩估计值．
设总体 $X$ 的分布函数为
$$
F(x ; \alpha)=\left\{\begin{array}{r}
1-\frac{1}{x^\alpha}, x>1 \\
0, x \leq 1
\end{array}\right.
$$
其中 $\alpha(\alpha>1)$ 为末知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本．
（1）求 $\alpha$ 的矩估计量；
（2）求 $\alpha$ 的最大似然估计量．
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\lambda^2 x e^{-\lambda x}, & x>0 \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
其中参数 $\lambda(\lambda>0)$ 未知，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本．
（1）求参数 $\lambda$ 的矩估计量；
（2）求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量．
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \sigma^2$ 已知，问需抽取容量 $n$ 为多大的样本，才能使 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ ，且置信区间的长度不大于 $L$ ？
设 $0.25,4.00,1.25,0.80$ 是总体 $X$ 的简单随机样本值，已知 $Y=\ln X$ 服从正态分布 $N(\mu, 1)$ ．
（1）求 $X$ 的数学期望 $E(X)$ ，并记 $E(X)=b$ ；
（2）求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间（ $u_{0.025}=1.96$ ）；
（3）利用上述结果求 $b$ 的置信度为 0.95 的置信区间．