解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)$
计算极限在 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (a+x)+\ln (a-x)-2 \ln a}{x^2} \quad(a>0)$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}$.
计算极限 $\lim _{x \rightarrow a+0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}} \quad(a \geq 0)$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x}-1}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan m x}{\sin n x} \quad(m, n$ 为非零常数 $)$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+x^2\right)+\ln \left(1-x+x^2\right)}{\sec x-\cos x}$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \ln \frac{e^x+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}$
计算极限： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \left(\sqrt{n^2+a^2} \cdot \pi\right)$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{3 n^2-2}{3 n^2+4}\right)^{n(n+1)}$
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2 n+1}{2 n-1}\right)^n$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^n$, 其中 $a>0, b>0$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left[e^{\left(2+\frac{1}{n}\right)}+e^{\left(2-\frac{1}{n}\right)}-2 e^2\right]$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)$, 其中 $a>0$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{n^2+1}}{n+1}\right)^n$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left[\ln \left(a+\frac{1}{n}\right)+\ln \left(a-\frac{1}{n}\right)-2 \ln a\right]$ , $a>0$
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(e^{\frac{a}{n}}-e^{\frac{b}{n}}\right)$, 其中 $a, b$
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}+e^{\frac{1}{n}}\right)^n$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n[\ln (n+1)-\ln n]$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^2-1}{\ln |x|}$.