单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
1,|y| < x, 0 < x < 1, \\
0, \quad \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
则 $P\left\{Y>0 \left\lvert\, X=\frac{1}{2}\right.\right\}=1$,
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设随机变量 $X_n(n \geq 1)$ 相互独立,且都在 $(-1,1)$ 上服从均匀分布， $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n}} \leqslant 1\right\}=(\quad$,
$\text{A.}$ $\Phi\left(\frac{1}{2}\right)$
$\text{B.}$ $\Phi(\sqrt{2})$
$\text{C.}$ $\Phi(\sqrt{3})$
$\text{D.}$ $\Phi(0)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 样本均值与样本方差分别为 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 则 $D\left(\sqrt{n} \bar{X}^2-S^2\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
$\text{B.}$ $(n-1) \sigma^2$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^2$
$\text{D.}$ $2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\frac{|x|}{\sigma} e ^{-\frac{x^2}{\sigma}},-\infty < x < +\infty, X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 则参数 $\sigma$ 的最大似然估计量为
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| < y < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$.
(I) 条件概率密度函数 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ 及条件概率 $P\left\{\left.Y>\frac{1}{2} \right\rvert\, X=\frac{1}{3}\right\}$;
(II) $Z=Y-2 X$ 的概率密度函数;
(II) 协方差 $\operatorname{Cov}(X, Z)$.