解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论 $n$ 阶 $(n \geqslant 2)$ 方阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & \cdots & a\end{array}\right)$ 的秩的情况.
求解四元方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
2 x+y-z+w & =1 \\
3 x-2 y+z-3 w & =4 \\
x+4 y-3 z+5 w & =-2
\end{aligned}\right.
$$
的基础解系
设有线性方程组
$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & \lambda-1 & -2 \\
0 & \lambda-2 & \lambda+1 \\
0 & 0 & 2 \lambda+1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
5
\end{array}\right),
$$
问 $\lambda$ 为何值时（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无限多解? 并在有无限多解时求其通解.
非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
-2 x_1+x_2+x_3 & =-2, \\
x_1-2 x_2+x_3 & =\lambda, \\
x_1+x_2-2 x_3 & =\lambda^2
\end{aligned}\right.
$$
当 $\lambda$ 取何值时有解? 并求出它的通解。
设 $A$ 为列满秩矩阵, $A B=C$, 证明方程 $B x=0$ 与 $C x=0$ 同解.
设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，证明方程 $A X = E _{ m }$ 有解的充要条件是 $R( A )= m$ 。