证明题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_L x y^2 d s, L: x^2+y^2=1, x>0, y>0$
设曲线 $L:|x|=1,|y|=1, f(x)$ 为正值函数, 求 $\oint_L \frac{a f(x)+b f(y)}{f(x)+f(y)} d s$
计算曲线积分 $\oint_{\Gamma} x^2 d s$, 其中 $\Gamma$ 为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=R^2 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$
求两直交圆柱面 $x^2+y^2=R^2, x^2+z^2=R^2$ 所围成的立体的表面积
算 $I=\oint_L \frac{d s}{\sqrt{5-4 x y+4 y^2}}$, 其中 $L$ 为曲线 $x^2-4 x y+5 y^2=1$.
计算 $\int_L-y d x+x d y$, 其中 $L$ 是沿曲线 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 从点 $A(2,0)$ 到点 $O(0,0)$ 的有向弧段。
计算第二型曲线积分
$$
I=\oint_C \frac{e^y}{x^2+y^2}((x \sin x+y \cos x) d x+(y \sin x-x \cos x) d y)
$$
其中 $C: x^2+y^2=1$, 取逆时针方向