填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x y+1}-1}=$
设 $f(x, y, z)=\ln (x+y z)$, 则 $f_z(2,1,1)=$
设 $f(x, y, z)=e^x y z^2$, 其中 $z=z(x, y)$ 是由 $x+y+z+x y z=0$ 确定的隐函数, 则$f_x(0,1,-1)=$
设 $z=x \ln (x+y)$, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
求函数 $z=\ln \left(1+x^2+y^2\right)$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$
设 $z=\arctan \frac{x+y}{x-y}$, 则 $d z=$
设 $u=f(x, y, z)=e^{x+2 y+3 z}, z=x^2 \cos y$, 则 $\frac{\partial u}{\partial y}=$
函数 $f(x, y)=2 x+6 y-x^2-y^2$ 的驻点为
函数 $f(x, y)=x^2-2 x y+2 y$ 在矩形区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq 2\}$ 上的最大值为 $\qquad$ , 最小值为 $\qquad$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^3}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$, 求 $f_x(0,0), f_y(0,0)$ 。
设 $z=f\left(x^2-y^2, x y\right)$, 其中 $f$ 具有一阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
设 $u=y f\left(\frac{y}{x}\right)+x g\left(\frac{x}{y}\right)$, 其中 $f, g$ 具有二阶连续偏导数, 求 $x \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$
设 $z=u^2 \ln v$, 而 $u=\frac{x}{y}, v=3 x-2 y$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
设 $z=f(x+y, x y)$, 其中 $f$ 具有一阶连续偏导数, 求 $d z$
设函数 $z=f(x, y)$ 由方程 $x+z=e^{z-y}$ 所确定, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$
求二元函数 $f(x, y)=x^3-4 x^2+2 x y-y^2+1$ 的极值
求二元函数 $f(x, y)=x^2\left(2+y^2\right)+y \ln y$ 的极值
在椭圆 $x^2+4 y^2=4$ 上求一点, 使其到直线 $2 x+3 y-6=0$ 的距离最短。
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+2 y^2}$ 不存在。
设 $z=x y+x f\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中 $f$ 为可导函数, 证明: $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z+x y$