填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z=-i$ ，则 $|z|=$ $\qquad$ , $\arg z=$ $\qquad$ ， $\bar{z}=$ $\qquad$
设 $f(z)=\left(x^2+2 x y\right)+i\left(1-\sin \left(x^2+y^2\right), \forall z=x+i y \in C\right.$ ，则 $\lim _{z \rightarrow 1+i} f(z)=$
$\int_{\left|z-z_0\right|=1} \frac{d z}{\left(z-z_0\right)^n}=$ $\qquad$ ．$n$ 为自然数）
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} n z^n$ 的收敛半径为
若 $z_0$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶零点且 $m>0$ ，则 $z_0$ 是 $f^{\prime}(z)$ 的 $\qquad$零点
方程 $2 z^5-z^3+3 z+8=0$ 在单位圆内的零点个数为
设 $f(z)=\frac{1}{1+z^2}$ ，则 $f(z)$ 的孤立奇点有
$\operatorname{Res}\left(\frac{z-1}{z^4}, 1\right)=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $\sin \left(2 z^3\right)$ 的幂级数展开式．
在复平面上取上半虚轴作割线．试在所得的区域内取定函数 $\sqrt{z}$在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 $z=i$ 处的值．
计算积分：$I=\int_{-i}^i|z| d z$ ，积分路径为（1）单位圆 $(|z|=1)$的右半圆。
求
$$
\oint_{|z|=2} \frac{\sin z}{\left(z-\frac{\pi}{2}\right)^2} d z
$$
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，试证：$f(z)$ 在 $D$ 内为常数的充要条件是 $\overline{f(z)}$ 在 $D$ 内解析．